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2019年北京卷理科數學高考真題(Word,含答案)

2019年普通高等學校招生全國統一考試

學(理)(北京卷)

本試卷共5頁,150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效。考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題 40分)

一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。

1已知復數z=2+i,則

A B C3 D5

2)執行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為


A1 B2 C3 D4

3)已知直線l的參數方程為(t為參數),則點(10)到直線l的距離是

A (B)? (C) D

4)已知橢圓ab0)的離心率為,則

Aa2=2b2 (B3a2=4b2 (C)a=2b D3a=4b

5)若xy滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值為

A?7 (B1 (C5 D7

6)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg,其中星等為mk的星的亮度為Ekk=12).已知太陽的星等是?26.7,天狼星的星等是?1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為

A1010.1 B10.1 Clg10.1 D10?10.1

7)設點ABC不共線,則“與的夾角為銳角”是“”的

A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件 D)既不充分也不必要條件

8)數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結論:


①曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點);

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;

③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3

欧美性交 其中,所有正確結論的序號是

A① (B)② (C)①② D①②③

第二部分(非選擇題 110分)

二、填空題共欧美性交6小題,每小題5分,共30分。

9)函數fx=sin22x的最小正周期是__________

10)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若a2=?3S5=?10,則a5=__________Sn的最小值為__________

11)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得,其三視圖如圖所示.如果網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為__________


12已知lm是平面外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:

lmml⊥.

以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出一個正確的命題:__________

13)設函數fx=ex+ae?xa為常數).若fx)為奇函數,則a=________;若fx)是R上的增函數,則a的取值范圍是___________

14)李明自主創業,在網上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃價格依次為60/盒、65/盒、80/盒、90/為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后,李明會得到支付款的80%

x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;

在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為__________

三、解答題共6小題,共80分。解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程。

15)(本小題13分)

ABC中,a=3b?c=2cosB=

Ⅰ)求bc的值;

Ⅱ)求sinBC)的值.

16本小題14

如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCDADCDADBCPA=AD=CD=2BC=3EPD的中點,點FPC上,且

)求證:CD平面PAD

)求二面角F–AE–P的余弦值;

)設點GPB上,且.判斷直線AG是否在平面AEF內,說明理由.


17)(本小題13分)

改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月AB兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發現樣本中AB兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:

付金額(元)

支付方式

01000]

10002000]

大于2000

僅使用A

18

9

3

僅使用B

10

14

1

全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月AB兩種支付方式都使用的概率;

)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數,X的分布列和數學期望;

)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化現從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人,發現他們本月的支付金額大于2000.根據抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由

18)(本小題14分)

已知拋物線Cx2=?2py經過點2?1).

Ⅰ)求拋物線C的方程及其準線方程;

Ⅱ)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點MN,直線y=?1分別交直線OMON于點A和點B求證AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

19)(本小題13分)

已知函數.

(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;

(Ⅱ)當時,求證:;

(Ⅲ)設,記在區間上的最大值為Ma).當Ma)最小時,求a的值.

20)(本小題13分)

已知數列{an},從中選取第i1項、第i2項、…、im項(i1<i2<…<im),若,則稱新數列{an}的長度為m增子列.規定:數列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的遞增子列.

)寫出數列1837569的一個長度為4的遞增子列

)已知數列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為,長度為q的遞增子列的末項的最小值為p<q,求證:<

)設無窮數列{an}的各項均為正整數,且任意兩項均不相等{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s–1,且長度為s末項為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(s=12),求數列{an}的通項公式.















2019普通高等學校招生全國統一考試

數學(理)(北京卷)參考答案

一、選擇題(共8小題,每小題5分,共40分)

1D 2B 3D 4B 5C 6A 7C 8C

二、填空題(共6小題,每小題5分,共30分)

9 100 1140 12)若,,則.(答案不唯一)

13 14130 ?15

三、解答題(共6小題,共80分)

15)(共13分)

解:(Ⅰ)由余弦定理,得

.

因為,

所以.

解得.

所以.

)由.

由正弦定理得.

中,B是鈍角,

所以C為銳角.

所以.

所以.

(16)14

:(因為PA平面ABCD所以PACD

又因為ADCD所以CD平面PAD

)過AAD的垂線交BC于點M

因為PA平面ABCD,所以PAAMPAAD

如圖建立空間直角坐標系A-xyz,則A000),B210),C220),D020),P002).

因為EPD的中點,所以E011).

所以

所以.

設平面AEF的法向量為n=xyz),則

z=1,則

于是

又因為平面PAD的法向量為p=100),所以.

由題知,二面角F-AE-P為銳角,所以其余弦值為


)直線AG在平面AEF內.

因為點GPB上,且

所以.

由()知,平面AEF的法向量.

所以.

所以直線AG在平面AEF.

(17)(共13分)

解:()由題意知,樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人,僅使用B的學生有10+14+1=25人,AB兩種支付方式都不使用的學生有5.

故樣本中AB兩種支付方式都使用的學生有100?30?25?5=40.

所以從全校學生中隨機抽取1人,該學生上個月AB兩種支付方式都使用的概率估計為.

X的所有可能值為012.

記事件C從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000,事件D從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000”.

由題設知,事件CD相互獨立,且.

所以



=0.4×1?0.6+1?0.4×0.6

=0.52

.

所以X的分布列為

X

0

1

2

P

0.24

0.52

0.24

X的數學期望EX欧美性交=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.

)記事件E從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000”.

假設樣本僅使用A的學生中,本月支付金額大于2000元的人數沒有變化,則由上個月的樣本數據得.

答案示例1:可以認為有變化.理由如下:

PE)比較小,概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生,就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.

答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:

事件E是隨機事件,PE)比較小,一般不容易發生,但還是有可能發生的,所以無法確定有沒有變化.

(18)(共14分)

解:(由拋物線經過點,得.

所以拋物線的方程為,其準線方程為.

)拋物線的焦點為.

設直線的方程為.

.

,則.

直線的方程為.

,得點A的橫坐標.

同理得點B的橫坐標.

設點,則




.

,即,則.

綜上,以AB為直徑的圓經過y軸上的定點.

(19)(共13分)

解:()由.

,即,得.

所以曲線的斜率為1的切線方程是

.

)令.

.

.

的情況如下:

所以的最小值為,最大值為.

,即.

)由()知,

時,

時,

時,.

綜上,當最小時,.

(20)(共13分)

解:(1356.(答案不唯一)

)設長度為q末項為的一個遞增子列為.

p<q,得.

因為的長度為p的遞增子列末項的最小值為

的長度為p的遞增子列,

所以.

所以·

)由題設知,所有正奇數都是中的項.

先證明:若2m中的項,則2m必排在2m?1之前(m為正整數).

假設2m排在2m?1之后.

是數列的長度為m末項為2m?1的遞增子列,則是數列的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾.

再證明:所有正偶數都是中的項.

假設存在正偶數不是中的項,設不在中的最小的正偶數為2m.

因為2k排在2k?1之前(k=12m?1),所以2k不可能在的同一個遞增子列中.

中不超過2m+1的數為122m?22m?12m+1,所以的長度為m+1且末項為2m+1的遞增子列個數至多為.

與已知矛盾.

最后證明:2m排在2m?3之后(m≥2為整數).

假設存在2mm≥2),使得2m排在2m?3之前,則的長度為m+1且末項為2m+l的遞增子列的個數小于.與已知矛盾.

綜上,數列只可能為21432m?32m2m?1….

經驗證,數列21432m?32m2m?1符合條件.

所以





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